Question

在△ABC为正三角形的斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁是矩形，侧棱与底面ABC成30°角，作A₁H⊥面ABC于H，连接AH并延长交BC于P，AP=2A₁H．
（Ⅰ）证明：B₁C₁⊥面A₁AH；
（Ⅱ）求二面角A-BC-A₁的正切值；
（Ⅲ）若A₁H=BC=1，求四棱锥A₁-BB₁C₁C体积．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面A₁AH，即可证明：B₁C₁⊥面A₁AH；
（Ⅱ）推出二面角A-BC-A₁的平面角，然后通过解三角形求解即可得到所求角的正切值；
（Ⅲ）求四棱锥A₁-BB₁C₁C体积．转化为 棱柱的体积减去棱锥的体积即可．

解答： 解：（Ⅰ）A₁H⊥面ABC于H，BC∈平面ABC，∴A₁H⊥BC，AA₁∥BB₁，
侧面BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁，即BC⊥A₁A，∴A₁A∩A=A，∴BC⊥平面A₁AH，
∴证明：B₁C₁⊥面A₁AH；
（Ⅱ）连接AH并延长交BC于P，AP=2A₁H，由（Ⅰ）可知∠A₁PH就是所求二面角A-BC-A₁的平面角，
∵侧棱与底面ABC成30°角，
∴

A1H

AH

=tan30°=

3

3

，HP=AP-AH=2A₁H-

3

A₁H，
所求二面角A-BC-A₁的正切值：

A1H

HP

=

1

2- 3

=2+

3

；
（Ⅲ）由A₁H=BC=1，所以四棱锥A₁-BB₁C₁C体积为：
V三棱柱-VA1-ABC=

3

4

AB2•A1H-

1

3

×

3

4

AB2•A1H
=

3

6

AB2•A1H．
=

3

6

．

点评：他考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．