Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．
（1）求证：{

1

an

+

1

2

}为等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明{

1

an

+

1

2

}为等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）利用错误相减法即可求出数列的和．

解答： 解（1）∵a₁=1，a_n+1═

an

an+3

，
∴

1

an+1

=

an+3

an

=1+

3

an

，
即

1

an+1

+

1

2

=

3

an

+

3

2

=3（

1

an

+

1

2

），
则{

1

an

+

1

2

}为等比数列，公比q=3，
首项为

1

a1

+

1

2

=1+

1

2

=

3

2

，
则

1

an

+

1

2

=

3

2

•3n-1，
即

1

an

=-

1

2

+

3

2

•3n-1=

1

2

(3n-1)，即a_n=

2

3n-1

．
（2）b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n=

n

2n-1

，
则数列{b_n}的前n项和T_n=

1

1

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

  ①

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

 ②，
两式相减得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
则 T_n=4-

n+2

2n-1

．

点评：本题主要考查等比数列的判断，以及数列的求和，利用错位相减法是解决本题的关键，考查学生的运算能力．