Question

11．在平面直角坐标系中，点O（0，0），P（4，3），将向量$\overrightarrow{OP}$绕点O按顺时针方向旋转$\frac{2π}{3}$后得向量$\overrightarrow{OQ}$，则点Q的坐标是（　　）

• A． （$\frac{{-3+4\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-4+3\sqrt{3}}}{2}$）
• B． （$\frac{{-3+4\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-4-3\sqrt{3}}}{2}$）
• C． （$\frac{{-4+3\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-3-4\sqrt{3}}}{2}$）
• D． （$\frac{{-4-3\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-3+4\sqrt{3}}}{2}$）

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{OQ}$与x轴正方向的夹角，再利用任意角的三角函数的定义、两角和的三角公式，求得点Q的坐标．

解答 解：在平面直角坐标系中，点O（0，0），P（4，3），设OP的倾斜角为θ，
则θ∈（0，$\frac{π}{4}$），|OP|=5，cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$\frac{3}{5}$，
将向量$\overrightarrow{OP}$绕点O按顺时针方向旋转$\frac{2π}{3}$后得向量$\overrightarrow{OQ}$，则$\overrightarrow{OQ}$与x轴正方向的夹角为θ+$\frac{2π}{3}$，
则点Q的横坐标为 5•cos（θ+$\frac{2π}{3}$）=5[$\frac{4}{5}•（-\frac{1}{2}）$-$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$]=-2-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
点Q的纵坐标为 5•sin（θ+$\frac{2π}{3}$）=5[$\frac{3}{5}•（-\frac{1}{2}）$+$\frac{4}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$]=-$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查求点的坐标的方法，任意角的三角函数的定义，两角和的三角公式的应用，属于中档题．