Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点（点A在点B上方），且|AB|=1，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，且|F₁P|+|F₂P|=4．
（I）求椭圆C的方程；
（2）若直线PF₁，PF₂与直线y=3分别交于G，H两点，求线段GH长度的最小值；在线段GH长度取得最小值的情况下，若点T是椭圆C上一点，求△TPF₁面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆定义得出a=2，把A点坐标代入椭圆方程即可求出b，从而得出椭圆方程；
（2）根据三角形相似及P点纵坐标的范围即可求出GH的最小值，求出PF₁的距离及所在直线方程，设T（2cosθ，sinθ），利用距离公式求出最大距离即可得出三角形的最大面积．

解答 解：（1）∵|F₁P|+|F₂P|=2a=4，∴a=2，
把A（c，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程得$\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，又c²=a²-b²=4-b²，
∴b²=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）F₁F₂=2c=2$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
设P（x₀，y₀），∵△PF₁F₂∽△PGH，
∴$\frac{GH}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{3-{y}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{3}{{y}_{0}}$-1，∴GH=2$\sqrt{3}$（$\frac{3}{{y}_{0}}$-1），
∵0＜y₀≤1，∴当y₀=1时，GH取得最小值4$\sqrt{3}$．
当y₀=1时，P（0，1），F₁（-$\sqrt{3}$，0），∴PF₁=2，直线PF₁的方程为$\sqrt{3}$x-3y+3=0，
设T（2cosθ，sinθ），则T到直线PF₁的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-3sinθ+3|}{2\sqrt{3}}$=$\frac{|\sqrt{21}cos（θ+φ）+3|}{2\sqrt{3}}$，
∴当cos（θ+φ）=1时，d取得最大值$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$，
∴△TPF₁面积的最大值为$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查令椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．