Question

20．如图，已知四棱锥S-ABCD是底面边长为$2\sqrt{3}$的菱形，且$∠BAD=\frac{π}{3}$，若$∠ASC=\frac{π}{2}$，SB=SD
（1）求该四棱锥体积的取值范围； 
（2）当点S在底面ABCD上的射影为三角形ABD的重心G时，求直线SA与平面SCD夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明BD⊥平面SAC，由∠ASC=$\frac{π}{2}$可知S的轨迹为与平面ABCD垂直的平面SAC内以AC为直径的半圆上，从而求出S到平面ABCD的距离的取值范围，从而求出棱锥的体积的范围；
（2）以E为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AS}$和平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$，利用$\overrightarrow{AS}$与$\overrightarrow{n}$的夹角（或补角）与所求线面角互余即可求出直线SA与平面SCD夹角的余弦值．

解答 解：（1）连结AC、BD，设交点为E，连结SE，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵E为BD中点，SB=SD，
∴BD⊥SE，又BD⊥AC，SE?平面SAC，AC?平面SAC，AC∩SE=E，
∴BD⊥面SAC．
又∵$∠ASC=\frac{π}{2}$，∴点S在平面SAC内以AC为直径的圆上运动，
设S到平面ABCD的距离为h，则0＜h≤$\frac{1}{2}AC$=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
又S_菱形ABCD=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}$=6$\sqrt{3}$，
∴当h=3时，四棱锥S-ABCD的体积取得最大值．最大体积为$\frac{1}{3}×6\sqrt{3}×3$=6$\sqrt{3}$．
∴四棱锥S-ABCD的体积的取值范围是$（0，6\sqrt{3}]$．
（2）∵G为△ABD的重心，∴AG=$\frac{2}{3}AE$=2，∴CG=4，
∵SG²=AG•GC，∴SG=2$\sqrt{2}$，
E为原点，以AC为x轴，BD为y轴，平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则S（1，0，2$\sqrt{2}$），D（0，$\sqrt{3}$，0），A（3，0，0），C（-3，0，0），
∴$\overrightarrow{AS}$=（-2，0，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（3，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DS}$=（1，-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$），
设平面SDC法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DS}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+\sqrt{3}y=0}\\{x-\sqrt{3}y+2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{AS}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AS}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AS}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-6}{2\sqrt{3}•\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
设直线SA与平面SCD夹角为$\overrightarrow{θ}$，
则$sinθ=|cos＜\overrightarrow{AS}•\overrightarrow n＞|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$cosθ=\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，线面角的计算，属于中档题．