Question

11．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，且离心率为$\frac{1}{2}$，点P为椭圆上一动点，△F₁PF₂内切圆面积的最大值为$\frac{π}{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A₁，过右焦点F₂的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A₁A，A₁B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设c=t，则a=2t，$b=\sqrt{3}t$，推导出点P为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立$\left\{\begin{array}{l}x=ty+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，不妨设c=t，a=2t，即$b=\sqrt{3}t$，其中t＞0，
又△F₁PF₂内切圆面积取最大值$\frac{π}{3}$时，半径取最大值为$r=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{r}{2}•{C_{△{F_1}P{F_2}}}$，${C_{△{F_1}P{F_2}}}$为定值，
∴${S_{△{F_1}P{F_2}}}$也取得最大值，即点P为短轴端点，
∴$\frac{1}{2}•2c•b=\frac{r}{2}•（2a+2c）$，$\frac{1}{2}•2t•\sqrt{3}t=\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{3}•（4t+2t）$，解得t=1，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．（4分）
（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}x=ty+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
则${y_1}+{y_2}=\frac{-6t}{{3+4{t^2}}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3+4{t^2}}}$，
直线AA₁的方程为$y=\frac{y_1}{{{x_1}-（-2）}}（x-（-2））$，
直线BA₁的方程为$y=\frac{y_2}{{{x_2}-（-2）}}（x-（-2））$，
则$P（4，\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}）$，$Q（4，\frac{{6{y_2}}}{{{x_2}+2}}）$，
假设PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），
则$\overrightarrow{MP}=（4-m，\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}-n）$，$\overrightarrow{MQ}=（4-m，\frac{{6{y_2}}}{{{x_2}+2}}-n）$，
$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}={（4-m）^2}+（\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}-n）（\frac{{6{y_2}}}{{{x_2}+2}}-n）=0$，
即$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}={（4-m）^2}+（\frac{{6{y_1}}}{{t{y_1}+3}}-n）（\frac{{6{y_2}}}{{t{y_2}+3}}-n）=0$，
即$\frac{{（36-12nt）{y_1}{y_2}-18n（{y_1}+{y_2}）}}{{{t^2}{y_1}{y_2}+3t（{y_1}+{y_2}）+9}}+{n^2}+{（4-m）^2}=0$，

$\frac{（36-12nt）（-9）-18n（-6t）}{{-9{t^2}+3t（-6t）+9（3{t^2}+4）}}+{n^2}+{（4-m）^2}=0$，即6nt-9+n²+（4-m）²=0，
若PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），即不论t为何值时，$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}=0$恒成立，
∴n=0，m=1或m=7．
∴以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）

点评 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．