Question

6．若关于x的不等式acos2x+cosx≥-1恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$]．

Answer 1

分析 利用换元法，将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立，讨论判别式△与对称性的关系进行求解即可．

解答 解：由acos2x+cosx≥-1得a（2cos²x-1）+cosx+1≥0，
令cosx=t，t∈[-1，1]，
则原命题可转换为（2t²-1）a+t+1≥0恒成立
则2at²+t+1-a≥0恒成立，令f（t）=2at²+t+1-a
首先f（-1）=2a-1+1-a=a≥0，f（1）=2a+2-a=a+2≥0，得a≥-2．
此时a≥0，
若△≤0，得1-4×2a×（1-a）≤0，即8a²-8a+1≤0解得$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$≤a≤$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
∵a≥0，$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$≤a≤$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，∴$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$≤a≤$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$
若判别式△＞0，即a＞$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
此时函数的最小值为$\frac{-4×2{a}^{2}-1}{4×2a}$=$\frac{-1-8{a}^{2}}{8a}$＞0恒成立，
此时不等式无解，
综上a的范围是[$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$]，
故答案为：[$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$]

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用换元法转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式和一元二次函数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．