Question

10．已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）和函数g（x）=sin$\frac{π}{2}$x，若f（x）与g（x）的图象有且只有3个交点，则a的取值范围是（$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）∪（5，9）．

Answer 1

分析 画出两个函数的图象，结合图象列出不等式，求出a的范围．

解答 解：作图分析，y=sin$\frac{π}{2}$x，与y=log_ax（ a＞0，a≠1），
要使得原方程恰有三个不相等的实数根，
转会为两函数图象有三个不同的交点．
当a∈（0，1）时，y=log_a3＞-1，y=log_a7＜-1，得：a∈（$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）
当a∈（1，+∞）时，y=loga5＜1，y=loga9＞1，得：a∈（5，9）
故答案为：（$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）∪（5，9）．

点评 本题用到的基本方法是数形结合法和分类讨论法，这两种方法都是高考重点考查的方法，对高中学生来讲，务必掌握．