Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（1，$\frac{3}{2}$），
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M；
（i）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证k₁k₂为定值；
（ii）设过点M垂直于PB的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（1，$\frac{3}{2}$），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（2）（i）设P（x₁，y₁）（y₁≠0），M（2，y₀），则${k}_{1}=\frac{{y}_{0}}{2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，由A、P、B三点共线及P（x₁，y₁）在椭圆上，能证明k₁k₂为定值．
（ii）求出直线m的方程为y-y₀=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2），由此能证明直线m过定点（-1，0）．

解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（1，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
证明：（2）（i）设P（x₁，y₁）（y₁≠0），M（2，y₀），则${k}_{1}=\frac{{y}_{0}}{2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，
∵A、P、B三点共线，∴${y}_{0}=\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{0}{y}_{1}}{2（{x}_{1}-2）}$=$\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{2（{{x}_{1}}^{2}-4）}$，
∵P（x₁，y₁）在椭圆上，∴${{y}_{1}}^{2}=\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）$，
∴${k}_{1}{k}_{2}=\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{2（{{x}_{1}}^{2}-4）}$=-$\frac{3}{2}$为定值．
（ii）直线BP的斜率${k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，直线m的斜率${k}_{m}=\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
则直线m的方程为y-y₀=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2），
y=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2）+y₀=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$x-$\frac{2（2-{x}_{1}）}{{y}_{1}}$+$\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$
=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}x+\frac{2（{{x}_{1}}^{2}-4）+4{{y}_{1}}^{2}}{（{x}_{1}+2）{y}_{1}}$=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}x+\frac{2（{{x}_{1}}^{2}-4）+12-3{{x}_{1}}^{2}}{（{x}_{1}+2）{y}_{1}}$
=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}（x+1）$．
∴直线m过定点（-1，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，考查直线过定点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．