Question

12．（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为$\frac{4\sqrt{5}}{3}$和$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．
（2）双曲线的焦距是实轴长的$\sqrt{5}$倍，且一个顶点的坐标为（0，2），求双曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义可知2a=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$+$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，求得a=$\sqrt{5}$，根据过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，利用勾股定理列式解出c的值，进而可求得椭圆的方程；
（2）由题意可知：焦点在y轴上，a=2，c=$\sqrt{5}$a=2$\sqrt{5}$，根据双曲线的性质可知b²=c²-a²，求得b，求得双曲线的方程．

解答 解：（1）由椭圆的定义可知：2a=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$+$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，a=$\sqrt{5}$，
由过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，
∴（$\frac{4\sqrt{5}}{3}$）²-（$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）²=c²，c²=$\frac{5}{3}$，
由b²=a²-c²，
∴b²=$\frac{10}{3}$，
当焦点在x轴上：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{10}{3}}=1$，
当焦点在y轴上：$\frac{{x}^{2}}{\frac{10}{3}}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$，
∴椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{10}{3}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{\frac{10}{3}}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）由顶点的坐标为（0，2），
∴焦点在x轴上，a=2，
由焦距是实轴长的$\sqrt{5}$倍，2c=$\sqrt{5}$•2a，
∴c=$\sqrt{5}$a=2$\sqrt{5}$，
由b²=c²-a²=（2$\sqrt{5}$）²-2²=16，
∴双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$．

点评 本题考查椭圆及双曲线的标准方程及其简单，考查椭圆及双曲线方程的求法，属于中档题．