Question

9．已知正实数x，y满足xy=x+2y+6，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式，转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值，再根据基本不等式即可求出$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$的最小值．

解答 解：由条件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2$\sqrt{2xy}$+6，
令xy=t²，即t=$\sqrt{xy}$＞0，可得t²-2$\sqrt{2}$t-6≥0．
即得到（t-3$\sqrt{2}$）（t+$\sqrt{2}$）≥0，可解得t≤-$\sqrt{2}$或t≥3$\sqrt{2}$．
又注意到t＞0，故解为t≥3$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{xy}$≥3$\sqrt{2}$，
∴xy≥18
∵xy=x+2y+6，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$+$\frac{3}{xy}$，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{xy}$≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$
故选：C．

点评 本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题．