Question

4．某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如图（2）所示，其中O′A′=O′B′=2，O′C′=$\sqrt{3}$，则该几何体的外接球的表面积为$\frac{112π}{3}$．

Answer 1

分析 由斜二测画法易知，该几何体的俯视图是一个边长为4的等边三角形，再结合正视图和侧视图可知，该几何体是如下图所示的高为4的三棱锥D-ABC，将其补形为三棱柱ABC-EDF，求出该外接球的半径即可求出该几何体的外接球的表面积．

解答 解：由斜二测画法易知，该几何体的俯视图是一个边长为4的等边三角形，再结合正视图和侧视图可知，该几何体是如下图所示的高为4的三棱锥D-ABC，将其补形为三棱柱ABC-EDF，设球心为O，△EDF的中心为O₁，
则O₁E=$\frac{2}{3}$DEsin60°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以该几何体的外接球的半径R=OE=$\sqrt{4+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{28}{3}}$，
其表面积为S=4πR²=$\frac{112π}{3}$．
故答案为：$\frac{112π}{3}$．

点评 本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体外接圆的表面积的应用问题，是基础题目．