Question

14．已知定义在R上的奇函数f（x），满足对任意t∈R都有f（2+t）+f（t）=0，且x∈[0，1]时，f（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$，若函数g（x）=f（x）-log_a|x|在其定义域上有5个零点，则实数a的值为（　　）

• A． 7或$\frac{1}{7}$
• B． 5或$\frac{1}{5}$
• C． 3或$\frac{1}{3}$
• D． e或$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 将t换为t+2，可得f（t+4）=f（t），可得f（x）为最小正周期为4的函数；再由奇函数的定义可得f（t+2）=f（-t），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称，求得[0，1]时f（x）的单调性，画出f（x）的图象，由题意可得函数y=f（x）的图象和函数y=log_a|x|的图象有5个交点，讨论a＞1，0＜a＜1时，函数的图象的交点情况，即可得到a的取值．

解答 解：任意t∈R都有f（2+t）+f（t）=0，
即为f（t+2）=-f（t），
t换为t+2，可得f（t+4）=-f（t+2）=f（t），
可得f（x）为最小正周期为4的函数；
又f（-t）=-f（t），即有f（t+2）=f（-t），
则函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
由x∈[0，1]时，f（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$，
f′（x）=$\frac{e-ex}{{e}^{x}}$，可得（0，1）为f（x）的增区间，
由f（x）的对称性和周期性，画出y=f（x）的图象，
由函数g（x）=f（x）-log_a|x|在其定义域上有5个零点，
即为函数y=f（x）的图象和函数y=log_a|x|的图象有5个交点，
当a＞1时，如图可得，x＞0时，x=5时，f（5）=f（1）=1，
由log_a5=1，解得a=5，且f（x）的值域为[-1，1]，
显然当x＞5时，y=f（x）的图象和函数y=log₅x的图象没有交点，
即x＞0时，y=f（x）的图象和函数y=log₅x的图象有2个交点；
x＜0时，y=f（x）的图象和函数y=log₅|x|的图象有3个交点，
同理可得，a=$\frac{1}{5}$时，x＞0时，y=f（x）的图象和函数y=log_a|x|的图象有3个交点，
x＜0时，y=f（x）的图象和函数y=log_a|x|的图象有2个交点．
综上可得，当a=5或$\frac{1}{5}$时，函数g（x）=f（x）-log_a|x|在其定义域上有5个零点．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点个数问题的解法，注意运用转化思想和分类讨论的思想方法，以及数形结合的方法，考查观察能力和判断能力，正确画出函数的图象是解题的关键，属于难题．