Question

19．已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）当a=1，b=1时，若$f（x）=\frac{5}{4}$，求x的值；
（2）若b＜0，且对任何x∈（0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=1，b=1代入函数解析式，在函数解析式中，然后分类去绝对值，求解关于x 的方程后得答案；
（2）在b＜0的前提下，在x∈（0，1]时，把不等式恒成立转化为$x+\frac{b}{x}＜a＜x-\frac{b}{x}$，由单调性求得左侧函数的最大值和右侧函数的最小值得a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1，b=1时，f（x）=x|x-1|+1，
由$f（x）=\frac{5}{4}$，得x|x-1|+1=$\frac{5}{4}$，
即x|x-1|=$\frac{1}{4}$
若x≥1时，方程等价为x²-x=$\frac{1}{4}$，即4x²-4x-1=0，得x=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$（舍），
若x＜1时，方程等价为-x²+x=$\frac{1}{4}$，即4x²-4x+1=0，得x=$\frac{1}{2}$，
综上x=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$或x=$\frac{1}{2}$；
（2）当x∈（0，1]，此时原不等式变为$|x-a|＜\frac{-b}{x}$，
即$x+\frac{b}{x}＜a＜x-\frac{b}{x}$，
故${（x+\frac{b}{x}）_{max}}＜a＜{（x-\frac{b}{x}）_{min}}，x∈（{0，1}]$，
∵b＜0，
∴函数$g（x）=x+\frac{b}{x}$在（0，1]上单调递增，
∴${（x+\frac{b}{x}）_{max}}=g（1）=1+b$，
令h（x）=x-$\frac{b}{x}$，则h（x）在（0，$\sqrt{-b}$） 上单调递减，[$\sqrt{-b}$，+∞）单调递增
当b＜-1时，h（x）=x-$\frac{b}{x}$在0＜x≤1上单调递减；
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b，∴1+b＜a＜1-b．
而-1≤b＜0时，h（x）=x-$\frac{b}{x}$≥2$\sqrt{x•（-\frac{b}{x}）}$=2$\sqrt{-b}$．
∴a＜h_min（x）=2 $\sqrt{-b}$．
∴1+b＜a＜2 $\sqrt{-b}$，
∴此时a的取值范围是（1+b，2$\sqrt{-b}$ ）．

点评 本题考查恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，综合性较强，运算量较大，属有一定难度题目．