Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)已知点，求证：若圆与直线相切，则圆与直线也相切.

Answer 1

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用条件布列的方程组，即可得到椭圆的标准方程；（2）对直线l的斜率分类讨论，若圆与直线相切，则圆与直线也相切等价于

，联立方程，借助根与系数关系证明等式即可.

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c(c>0)，依题意，

解得，c=1，故椭圆C的标准方程为；

（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，M，N两点关于x轴对称，点P（4,0）在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，所以点O到直线PM与直线PN的距离相等，故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， ， ，

由得：

所以， ，

， ，

，

所以， ，于是点O到直线PM与直线的距离PN相等，

故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；

综上所述，若圆与直线PM相切，则圆与直线PN也相切.