Question

7．用反证法证明：已知0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1．
求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 首先根据题意，通过反证法假设假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于$\frac{1}{4}$，得出：$\sqrt{（1-a）b}$+$\sqrt{（1-b）c}$+$\sqrt{（1-c）a}$＞$\frac{3}{2}$；然后根据基本不等式，得出加$\sqrt{（1-a）b}$+$\sqrt{（1-b）c}$+$\sqrt{（1-c）a}$≤$\frac{3}{2}$，相互矛盾，即可证明．

解答 证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于$\frac{1}{4}$，
∴（1-a）b＞$\frac{1}{4}$，（1-b）c＞$\frac{1}{4}$，（1-c）a＞$\frac{1}{4}$，
即$\sqrt{（1-a）b}$＞$\frac{1}{2}$ ①$\sqrt{（1-b）c}$＞$\frac{1}{2}$②$\sqrt{（1-c）a}$＞$\frac{1}{2}$③
①②③相加：$\sqrt{（1-a）b}$+$\sqrt{（1-b）c}$+$\sqrt{（1-c）a}$＞$\frac{3}{2}$
由基本不等式得$\sqrt{（1-a）b}$≤$\frac{1-a+b}{2}$④，$\sqrt{（1-b）c}$$≤\frac{1-b+c}{2}$⑤，$\sqrt{（1-c）a}$≤$\frac{1-c+a}{2}$⑥
④⑤⑥三式相加 $\sqrt{（1-a）b}$+$\sqrt{（1-b）c}$+$\sqrt{（1-c）a}$≤$\frac{3}{2}$
与$\sqrt{（1-a）b}$+$\sqrt{（1-b）c}$+$\sqrt{（1-c）a}$＞$\frac{3}{2}$矛盾．
∴假设不成立，
∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查反证法的应用，涉及不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．