Question

12．已知函数f（x）=ax²+b|x-1|，其中a，b∈（-4，4）且a≠0．当a∈（0，4），b=1时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 化简f（x）=ax²+|x-1|，从而讨论去绝对值号，再讨论确定函数的单调性及单调区间，从而求最小值．

解答 解：当a∈（0，4），b=1时，
f（x）=ax²+|x-1|，
当x∈（1，2]时，f（x）=ax²+x-1，
故f（x）在（1，2]上是增函数；
当x∈[0，1]时，f（x）=ax²-x+1
=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+1-$\frac{1}{4a}$；
当0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$时，
f（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）上单调递减，在[$\frac{1}{2a}$，1]单调递增；
结合函数的连续性知，
f_min（x）=f（$\frac{1}{2a}$）=1-$\frac{1}{4a}$；
当$\frac{1}{2a}$≥1，即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，
f（x）在（0，1）上单调递减；
结合函数的连续性知，
f_min（x）=f（1）=a．

点评 本题考查了绝对值函数的应用及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．