Question

2．已知f（x）=ax²-2x（a＞0），若存在实数t∈[0，2]，使得|f（x）-t|≤5对任意的x∈[0，2]恒成立，则a的取值范围是$\frac{1}{5}$≤a≤$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-t=ax²-2x-t=a（x-$\frac{1}{a}$）²-$\frac{1}{a}$-t，利用|f（x）-t|≤5对任意的x∈[0，2]恒成立，可得|-$\frac{1}{a}$-t|≤5，|-t|≤5，|4a-4-t|≤5，即可求出a的取值范围．

解答 解：令g（x）=f（x）-t=ax²-2x-t=a（x-$\frac{1}{a}$）²-$\frac{1}{a}$-t，
∵|f（x）-t|≤5对任意的x∈[0，2]恒成立，
∴|-$\frac{1}{a}$-t|≤5，|-t|≤5，|4a-4-t|≤5，
∵a＞0，
∴$\frac{1}{5}$≤a≤$\frac{4}{9}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$≤a≤$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查恒成立问题，考查学生解不等式的能力，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．