Question

17．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=$\frac{10}{3}$，且对于任意实数x，y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）．若数列{a_n}满足a_n=3f（n）-f（n-1），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{24{a}_{n}}{（3{a}_{n}-8）^{2}}$，n∈N^*，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）直接 令x=1，y=0，再结合f（1）=$\frac{10}{3}$，即可求出f（0）的值；先令x=y=1，求出f（2），进而求出a₁，再令x=n+1，y=1得到f（n+2）=f（n+1）-f（n），即可求出数列{a_n}相邻两项之间的关系，找到其规律即可求{a_n}的通项公式；
（2）化简b_n=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）^{2}}$，当n≥2，b_n＜$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n}-3）}$=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n}-1）}$＜，求得S_n═$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n}-1}$）＜$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$=1，得证．

解答 解：当x=1，y=0，f（1）f（0）=f（1）+f（1），f（0）=2，
令x=y=1，得 f（1）f（1）=f（2）+f（0）．
∴a₁=3f（1）-f（0）=8，
令x=n+1，y=1，得f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）．
∴f（n+2）=$\frac{10}{3}$f（n+1）-f（n），
a_n+1=3f（n+2）-f（n+1）=3[$\frac{10}{3}$f（n+1）-f（n）]-f（n+1）=9f（n+1）-3f（n）=3（f（n+1）-f（n））=3a_n，
数列{a_n}是以8为首项，以3为公比的等比数列，
a_n=8•3^n-1，=$\frac{8}{3}$•3ⁿ，
（2）b_n=$\frac{24{a}_{n}}{（3{a}_{n}-8）^{2}}$=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）^{2}}$=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）^{2}}$，
当n＞2，$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）^{2}}$=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n}-1）}$＜$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n}-3）}$，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{3}^{n-1}}-\frac{1}{{3}^{n}-1}$），
∴Sn=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜b₁+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{3}^{1}-1}$-$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$-$\frac{1}{{3}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n}-1}$），
=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n}-1}$）＜$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$=1，
∴S_n＜1．

点评 本题主要考查数列知识与函数知识的综合问题．解决第一问的关键在于对赋值法的熟练应用．