Question

7．已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且a_n与1的等差中项等于S_n与1的等比中项．
（1）求a₁的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=${3}^{1+{a}_{n}}$+（-1）^n-1×3ⁿ⁺¹t，对于n∈N^*有b_n+1＞b_n恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过4S_n=1+2a_n+${{a}_{n}}^{2}$与4S_n-1=1+2a_n-1+${{a}_{n-1}}^{2}$作差，进而计算可知数列{a_n}时首项为1、公差为2的等差数列，计算即可；
（2）通过（1）化简可知对于n∈N^*有2•9ⁿ＞（-3）ⁿ⁺¹t恒成立，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：（1）依题意，$\frac{1+{a}_{n}}{2}$=$\sqrt{{S}_{n}}$，即4S_n=1+2a_n+${{a}_{n}}^{2}$，
∴当n≥2时，4S_n-1=1+2a_n-1+${{a}_{n-1}}^{2}$，
两式相减得：4a_n=2a_n+${{a}_{n}}^{2}$-2a_n-1-${{a}_{n-1}}^{2}$，
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
又∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∵4a₁=1+2a₁+${{a}_{1}}^{2}$，即a₁=1，
∴数列{a_n}时首项为1、公差为2的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可知b_n=${3}^{1+{a}_{n}}$+（-1）^n-1×3ⁿ⁺¹t=9ⁿ+（-3）ⁿ⁺¹t，
∵对于n∈N^*有b_n+1＞b_n恒成立，
∴9ⁿ⁺¹+（-3）ⁿ⁺²t＞9ⁿ+（-3）ⁿ⁺¹t，
整理得：2•9ⁿ＞（-3）ⁿ⁺¹t，
①当n为奇数时，即：2•9ⁿ＞3ⁿ⁺¹t，
∴t小于2•3^n-1的最小值，
∴t＜2；
②当n为偶数时，即：2•9ⁿ＞-3ⁿ⁺¹t，
∴t大于-2•3^n-1的最大值，
∴t＞-6；
综上所述，实数t的取值范围是：（-6，2）．

点评 本题考查数列的通项公式，涉及不等式的性质、递推关系、数列的单调性等基础知识，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，注意解题方法的积累，属于难题．