Question

16．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A（4，1）是抛物线内一点，P在抛物线上，PA+PF的最小值为5．
（1）求抛物线方程；
（2）一条直线与抛物线相交于A、B（其中A在第一象限）与x轴、y轴相交于C、D，且|AC|，|CB|，|BD|的比为3：2：1，若这样的直线存在，求出所有符合条件的直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）易知当AP平行于x轴时PA+PF取最小值为5，利用抛物线的定义计算即得结论；
（2）通过|AC|、|CB|、|BD|的比为3：2：1可知A（2a，-b）、B（$\frac{a}{3}，\frac{2b}{3}$），代入抛物线方程计算即得结论．

解答 解：（1）如图，当AP平行于x轴时，PA+PF取最小值为5，
由抛物线定义可知，点A到抛物线准线x=-$\frac{p}{2}$的距离为5，
又∵A（4，1），
∴4+$\frac{p}{2}$=5，即p=2，
∴抛物线方程为：y²=4x；
（2）∵|AC|、|CB|、|BD|的比为3：2：1，
∴|AC|=|CD|，|CB|=2|BD|，
设C（a，0）、D（b，0），
则A（2a，-b），B（$\frac{a}{3}，\frac{2b}{3}$），
∵直线与抛物线相交于点A、B，
∴b²=8a，$\frac{{4{b^2}}}{9}=\frac{4a}{3}$，
∴a=0，
∴这样的直线不存在．

点评 本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．