Question

4．设复平面内点z₀=1+2i关于直线l：|z-2-2i|=|z|的对称点的复数表示是i．

Answer 1

分析 求出直线l的方程，求出点（1，2）关于l的对称点，则P₀关于直线l：|z-2-2i|=|z|的对称点的复数表示可求．

解答 解：设z=x+yi（x，y∈R），代入：|z-2-2i|=|z|，得|（x-2）+（y-2）i|=|x+yi|，
即$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，整理得，x+y=2．
而复数z₀=1+2i在复平面上对应点为P₀（1，2），设其关于x+y=2的对称点为（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+1}{2}+\frac{n+2}{2}=2}\\{\frac{n-2}{m-1}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=1}\end{array}\right.$．
∴P₀关于直线l：|z-2-2i|=|z|的对称点为（0，1）．
该点对应的复数是i，
故答案为：i．

点评 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了点关于直线的对称点的求法，是中档题．