Question

9．已知双曲线mx²+ny²=1的离心率为2，其中的一个焦点是抛物线y²=4x的焦点，则该双曲线的渐近线方程是（　　）

• A． $y=±\frac{3}{2}x$
• B． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$
• C． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$
• D． $y=±\sqrt{3}x$

Answer 1

分析 利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出a²，b²，利用双曲线的三个系数的关系列出m，n的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于m，n的另一个等式，解方程组求出m，n的值，代入方程求出双曲线的方程，可得渐近线方程．

解答 解：∵抛物线y²=4x的焦点为（1，0）
∴mx²+ny²=1的一个焦点为（1，0）
∴双曲线的焦点在x轴上，
∴a²=$\frac{1}{m}$，b²=-$\frac{1}{n}$，c=1，
根据双曲线三个参数的关系得到 1=a²+b²=$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{n}$，
又离心率为2，
即$\frac{1}{\frac{1}{m}}$=4，
解得m=4，n=-$\frac{4}{3}$．
∴此双曲线的方程为4x²-$\frac{4}{3}$y²=1，
渐近线方程即为：y=±$\sqrt{3}$x，
故选D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，一定注意双曲线中三参数的关系：c²=a²+b²而椭圆中三参数的关系为a²=c²+b²．