Question

14．已知曲线Ω：Ax²+By²+Cxy=1（A，B，C为常数），有下列命题：
①若A=B，则曲线Ω关于直线y=x对称；  ②若C≠0，则曲线Ω一定是一条封闭曲线；
③若C=0，则存在A，B，使过点（0，1）与曲线Ω有且只有一个交点的直线有4条；
④若C=0，则直线x+y+m=0与曲线Ω相交弦的中点轨迹可能是直线．
其中的正确命题是①③④（填上你认为正确的所有命题的序号）

Answer 1

分析 对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①若A=B，当x，y互换时，方程不变，则曲线Ω关于直线y=x对称，正确；  
②A=B=1，C=2时，方程可化为x+y=±1，表示两条直线，则曲线Ω一定是一条封闭曲线，不正确；
③若C=0，则存在A=1，B=-1，使过点（0，1）与曲线Ω有且只有一个交点的直线有4条，正确；
④若C=0，则直线x+y+m=0与曲线Ω相交弦AB的中点（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点差法可得A（x₁+x₂）（x₁-x₂）+B（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，所以Ax+By=0，即的中点轨迹可能是直线，正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查曲线与方程，考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．