Question

6．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=4bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的渐近线为（　　）

• A． 3x±5y=0
• B． 5x±3y=0
• C． $x±\sqrt{15}y=0$
• D． $\sqrt{15}x±y=0$

Answer 1

分析 依题意，可求得抛物线y²=4bx的焦点F（B，0），由$\frac{|F{F}_{1}|}{|{F}_{2}F|}$=$\frac{5}{3}$即可求得b，c之间的关系，从而可求得此双曲线的渐近线方程．

解答 解：∵抛物线y²=4bx的焦点F（b，0），
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），
又线段F₁F₂被抛物线y²=4bx的焦点分成5：3两段，
∴$\frac{|F{F}_{1}|}{|{F}_{2}F|}$=$\frac{5}{3}$，即$\frac{b+c}{c-b}$=$\frac{5}{3}$，
∴c=4b；
又c²=a²+b²=16b²，
∴a²=15b²，
∴a=$\sqrt{15}$b，
即有双曲线的渐近线方程为x±$\sqrt{15}$y=0，
故选C．

点评 本题考查双曲线的简单性质，由$\frac{|F{F}_{1}|}{|{F}_{2}F|}$=$\frac{5}{3}$即可求得b，c之间的关系是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．