Question

4．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤4}\\{x-y≤0}\end{array}\right.$，在（x-2）²+（y+1）²的最小值为（　　）

• A． 5
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\frac{1}{12}$
• D． 17

Answer 1

分析 作出不等式组表示的平面区域；通过（x-3）²+y²的几何意义：可行域内的点到（3，0）距离的平方；结合图象求出（3，0）到直线的距离即可．

解答 解：∵变量x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}0≤x≤3\\ 0≤y≤4\\ x-y≤0\end{array}\right.$，
目标函数为：（x-2）²+（y+1）²，其几何意义是可行域内的点到（2，-1）距离的平方；
点A（2，-1）到直线x-y=0的距离公式可得：d=$\frac{|2+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
结合图形可得（x-2）²+（y+1）²的最小值：（$\frac{3}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{9}{2}$
故选：B．

点评 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键．