Question

15．设F为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右焦点，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点A，B，若$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，且∠BAF∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$），则该双曲线离心率的取值范围为（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{3}$+1）
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+1）

Answer 1

分析 设F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，由$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，可得AF⊥BF，可得四边形AFBF'为矩形，可设AF=m，BF=n，由双曲线的定义可得m-n=2a，m²+n²=4c²，解得m，n，在直角三角形ABF中，tan∠BAF=$\frac{BF}{AF}$，由正切函数值，解不等式，结合离心率公式，即可得到所求范围．

解答 解：设F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，
由$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，可得AF⊥BF，
可得四边形AFBF'为矩形，
可设AF=m，BF=n，
由双曲线的定义可得m-n=2a，m²+n²=4c²，
由c²=a²+b²，
解得m=$\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}$+a，n=$\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}$-a，
在直角三角形ABF中，tan∠BAF=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}-a}{\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}+a}$，
由∠BAF∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$），可得2-$\sqrt{3}$＜$\frac{\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}-a}{\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}+a}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
化简可得（$\sqrt{3}$-1）$\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}$＞（3-$\sqrt{3}$）a，
即有b²＞a²，即c²＞2a²，即有e＞$\sqrt{2}$，
又（$\sqrt{3}$-1）$\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}$＞（1+$\sqrt{3}$）a，
可得b²＜（3+2$\sqrt{3}$）a²，即有c²＜（4+2$\sqrt{3}$）a²，
可得e＜1+$\sqrt{3}$，
综上可得，e的范围是（$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$）．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，考查双曲线的定义和勾股定理的运用，考查锐角的正切函数的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．