Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求的单调区间．

（2）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程．

（3）已知分别在，处取得极值，求证：．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2），；（3）证明见解析．

【解析】

（1）由的正负可确定的单调区间；

（2）利用基本不等式可求得时，取得最小值，由导数的几何意义可知，从而求得，求得切点坐标后，可得到切线方程；

（3）由极值点的定义可知是的两个不等正根，由判别式大于零得到的取值范围，同时得到韦达定理的形式；化简为，结合的范围可证得结论.

（1）由题意得：的定义域为，

当时，，

，

当和时，；当时，，

的单调递增区间为，；单调递减区间为.

（2），所以（当且仅当，即时取等号），

切线的斜率存在最小值，，解得：，

，即切点为，

从而切线方程，即：．

（3），

分别在，处取得极值，

，是方程，即的两个不等正根．

则，解得：，且，．

，

，，

即不等式成立．