Question

20．设函数f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$，g（x）=$\frac{4}{3}$x+1-a
（1）求f（x）的值域；
（2）若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，求a值；
（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据根式函数以及一元二次函数的性质即可求f（x）的值域；
（2）若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，利用点到直线的距离关系进行求解即可求a值；
（3）利用数形结合转化为直线和圆的位置关系即可得到结论．

解答 解：（1）由-x²-4x≥0得x²+4x≤0，即-4≤x≤0，
此时f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$=$\sqrt{-（x+2）^{2}+4}$∈[0，2]，即函数f（x）的值域为[0，2]．
（2）由g（x）=$\frac{4}{3}$x+1-a=y得4x-3y+3（1-a）=0，
则若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，
则d=$\frac{|4×3-3×2+3（1-a）|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=3，
即$\frac{|12-6+3-3a|}{5}=\frac{|9-3a|}{5}=3$，
则|3-a|=5，即a=8或a=-2．
（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，
则函数f（x）对应的图象，在g（x）的图象下方，
函数f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$，表示以C（-2，0）为圆心，半径r=2的圆的上半部分，
则直线g（x）=$\frac{4}{3}$x+1-a的截距1-a＞0，即a＜1，
则满足圆心C到直线4x-3y+3（1-a）=0的距离d≥2，
即$\frac{|-2×4+3-3a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{|3a+5|}{5}$≥2，
则|3a+5|≥10，
即3a+5≥10或3a+5≤-10，
即3a≥5或3a≤-15，
即a≥$\frac{5}{3}$（舍）或a≤-5，
即实数a的取值范围是（-∞，-5]．

点评 本题主要考查函数值域以及点到直线的距离的计算，不等式恒成立问题，利用数形结合进行转化是解决本题的关键．