Question

4．下列函数中，同时满足条件①f（-x）=-f（x）；②若x₁＜x₂有f（x₁）＜f（x₂）的为（　　）

• A． y=x+1
• B． y=2cosx
• C． y=-$\frac{1}{x}$
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 由条件可得f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数，运用常见函数的奇偶性和单调性，即可判断A，B，C错误，D正确．

解答 解：①f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数；
②若x₁＜x₂有f（x₁）＜f（x₂），可得f（x）为R上的增函数．
对于A，y=x+1为R上的增函数，既不是奇函数，也不是偶函数，故A错误；
对于B，y=2cosx为偶函数，在（2kπ-π，2kπ），k∈Z递增，在（2kπ，2kπ+π），k∈Z递减，故C错误；
对于C，y=-$\frac{1}{x}$为奇函数，且在（-∞，0），（0，+∞）递增，故C错误；
对于D，y=x|x|，有f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），x＞0时，y=x²递增，在R上递增，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查运算能力和判断能力，属于基础题和易错题．