Question

12．设函数f（x）=ex+$\frac{m}{x}$（x≠0，m≠0）
（1）试分析y=f（x）的单调性；
（2）当m=1时，（k-$\frac{2}{k}$+$\frac{\sqrt{e}-2}{2}$）•f（s）≥t1n（t+1）+1在s∈（0，+∞），t∈（0，e-1]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知中的函数解析式，求导，进而对m进行分类讨论，可得不同情况下y=f（x）的单调性；
（2）当m=1时，（k-$\frac{2}{k}$+$\frac{\sqrt{e}-2}{2}$）•f（s）≥t1n（t+1）+1在s∈（0，+∞），t∈（0，e-1]上恒成立可化为：k-$\frac{2}{k}$+$\frac{\sqrt{e}-2}{2}$≥$\frac{1}{2}\sqrt{e}$，解得实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ex+$\frac{m}{x}$（x≠0，m≠0）
∴f′（x）=e-$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{{ex}^{2}-m}{{x}^{2}}$，
当m＜0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上均为增函数；
当m＞0时，由f′（x）＞0得：x∈（-∞，-$\sqrt{\frac{m}{e}}$）∪（$\sqrt{\frac{m}{e}}$，+∞），
由f′（x）＜0得：x∈（-$\sqrt{\frac{m}{e}}$，0）∪（0，$\sqrt{\frac{m}{e}}$），
此时f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{m}{e}}$），（$\sqrt{\frac{m}{e}}$，+∞）上均为增函数；
在（-$\sqrt{\frac{m}{e}}$，0）和（0，$\sqrt{\frac{m}{e}}$）上均为增减函数
（2）当m=1时，f（x）=ex+$\frac{1}{x}$，
（k-$\frac{2}{k}$+$\frac{\sqrt{e}-2}{2}$）•f（s）=（k-$\frac{2}{k}$+$\frac{\sqrt{e}-2}{2}$）•（es+$\frac{1}{s}$）≥t1n（t+1）+1在s∈（0，+∞），t∈（0，e-1]上恒成立，
即k-$\frac{2}{k}$+$\frac{\sqrt{e}-2}{2}$≥$\frac{tln（t+1）+1}{es+\frac{1}{s}}$在s∈（0，+∞），t∈（0，e-1]上恒成立，
当t=e-1，s=$\sqrt{\frac{1}{e}}$时，$\frac{tln（t+1）+1}{es+\frac{1}{s}}$取最大值$\frac{1}{2}\sqrt{e}$，
故k-$\frac{2}{k}$+$\frac{\sqrt{e}-2}{2}$≥$\frac{1}{2}\sqrt{e}$，
即k-$\frac{2}{k}$-1=$\frac{{k}^{2}-k-2}{k}$=$\frac{（k+1）（k-2）}{k}$≥0，
解得：k∈[-1，0）∪[2，+∞）

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数单调性的判断与证明，函数的最值上，难度中档．