Question

17．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，

年级名次 是否近视	1～50	951～1000
近视	41	32
不近视	9	18

能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）设各组的频率为f_i（i=1，2，3，4，5，6），由已知得后四组频数依次为27，24，21，18，由此能求出估计全年级视力在5.0以下的人数．
（2）求出K²，由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．

解答 解：（1）设各组的频率为f_i（i=1，2，3，4，5，6），
由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…（1分）
因为后四组的频数成等差数列，
所以后四组频数依次为27，24，21，18…（2分）
所以视力在5.0以下的频率为：$\frac{3+7+27+24+21}{100}$=0.82，
故全年级视力在5.0以下的人数约为$1000×\frac{82}{100}=820$…（3分）
（2）${k^2}=\frac{{100×{{（41×18-32×9）}^2}}}{50×50×73×27}=\frac{300}{73}≈4.110＞3.841$
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（6分）
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，…（7分）
$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{20}{84}$，
$P（X=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{45}{84}$，
$P（X=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{18}{84}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{1}{84}$

…（11分）
X的数学期望$E（X）=0×\frac{20}{84}+1×\frac{45}{84}+2×\frac{18}{84}+3×\frac{1}{84}=1$…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型机随机变量概率分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用．