Question

7．如图所示，长方形ABCD中，AB=2，BC=4，以D为圆心的两个圆心半圆，半径分别为1和2，G为大半圆直径的右端点，E为大半圆上的一个动点，DE与小半圆交于点F，EM⊥BC，垂足为M，EM与大半圆直径交于点H，FN⊥EM，垂足为N．
（Ⅰ）设∠GDE=30°，求MN的长度；
（Ⅱ）求△BMN的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过F作FQ⊥AG于Q，可得∠GDF=30°，可得MN=MH+QF=2+sin30°，计算可得；
（Ⅱ）设∠GDE=α，α∈[0，π]，可得△BMN的面积为S=$\frac{1}{2}$•（sinα+2）•（2cosα+4）=4+2（sinα+cosα）+sinαcosα，令t=sinα+cosα，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）过F作FQ⊥AG于Q．∵∠GDF=30°，
∴MN=MH+HN=MH+QF=2+sin30°=$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）设∠GDE=α，α∈[0，π]，
则MN=MH+HN=sinα+2，BM=BC+CM=2cosα+4，
∴△BMN的面积为S=$\frac{1}{2}$•（sinα+2）•（2cosα+4），
∴S=4+2（sinα+cosα）+sinαcosα，
令t=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
则t∈[-1，$\sqrt{2}$]，且sinαcosα=$\frac{1}{2}$（t²-1），
则S=$\frac{1}{2}$t²+2t+$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+2）²+$\frac{3}{2}$，
当t=$\sqrt{2}$，即α=$\frac{π}{4}$时，S取最大值，
故△BMN面积的最大值为$\frac{9+4\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查三角函数恒等变换的实际应用，涉及三角形的面积和二次函数区间的最值，属中档题．