Question

16．对a，b∈R，记max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，则函数f（x）=max{|x+1|，x+2}（x∈R）的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 讨论当|x+1|≥x+2，|x+1|＜x+2时，求出f（x）的解析式，由单调性可得最小值．

解答 解：当|x+1|≥x+2，即x+1≥x+2或x+1≤-x-2，
解得x≤-$\frac{3}{2}$时，f（x）=|x+1|，递减，
则f（x）的最小值为f（-$\frac{3}{2}$）=|-$\frac{3}{2}$+1|=$\frac{1}{2}$；
当|x+1|＜x+2，可得x＞-$\frac{3}{2}$时，f（x）=x+2，递增，
即有f（x）＞$\frac{1}{2}$，
综上可得f（x）的最小值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数的单调性，属于中档题．