Question

19．已知顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线C过点（2，-2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C与过点P（0，-1）的直线l相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，可设抛物线方程为x²=-2py，点（2，-2）代入方程可得4=4p，即可求抛物线C的方程；
（2）由题意可得设直线l的方程为y=kx-1，联立直线与抛物线的方程可得：x²+2kx-2=0，根据韦达定理可得答案．

解答 解：（1）由题意，可设抛物线方程为x²=-2py，
将点（2，-2）代入方程可得4=4p，即p=1…（2分）
所以抛物线的方程为x²=-2y．…（4分）
（2）显然，直线l垂直于x轴不合题意，故可设所求的直线方程为y=kx-1，
代入抛物线方程化简，得：x²+2kx-2=0，…（6分）
其中△=4k²+8＞0，x₁+x₂=-2k，x₁x₂-2…（8分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有$\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=2$，①
因为y₁=kx₁-1，y₂=kx₂-1，代入①，整理可得$2k-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=2$，
将x₁+x₂=-2k，x₁x₂-2代入，可得k=2，…（11分）
所以直线l的方程为y=2x-1．…（12分）

点评 本题主要考查抛物线的简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于中档题．