Question

9．已知四面体ABCD，$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{c}$，点M在棱DA上，$\overrightarrow{DM}$=2$\overrightarrow{MA}$，N为BC中点，则$\overrightarrow{MN}$=（　　）

• A． -$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$
• B． -$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$
• C． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$
• D． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$

Answer 1

分析 根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{DB}$与$\overrightarrow{DC}$表示出$\overrightarrow{MN}$．

解答 解：连接DN，如图所示，

四面体ABCD中，$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{c}$，
点M在棱DA上，$\overrightarrow{DM}$=2$\overrightarrow{MA}$，∴$\overrightarrow{DM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DA}$，
又N为BC中点，∴$\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{DC}$）；
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MD}$+$\overrightarrow{DN}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目．