Question

4．已知p：方程方程 $\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：实数m满足m²-（2a+1）m+a²+a＜0且￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由p可得：2-m＞m-1＞0，解得m范围．由q：实数m满足m²-（2a+1）m+a²+a＜0化为：（m-a）[m-（a+1）]＜0，解得m范围．
又￢q是￢p的充分不必要条件，可得p⇒q．

解答 解：由p可得：2-m＞m-1＞0，解得$1＜m＜\frac{3}{2}$．
由q：实数m满足m²-（2a+1）m+a²+a＜0化为：（m-a）[m-（a+1）]＜0，解得a＜m＜a+1．
又￢q是￢p的充分不必要条件，∴p⇒q．
则$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{\frac{3}{2}≤a+1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤a≤1$．经过检验a=$\frac{1}{2}$或1时均适合题意．
故a的取值范围是$\frac{1}{2}≤a≤1$．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．