Question

19．在直角坐标系xOy中，圆C₁：x²+（y-2）²=$\frac{1}{4}$，椭圆C₂：x²+4y²=4，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系
（I）求C₁、C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）若P，Q分别是圆C₁，椭圆C₂，椭圆C₂上的任意点，求|PQ|的最大值及相应的点Q坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C₁、C₂的极坐标方程．
（Ⅱ）设Q（2cosα，sinα），求出P到圆心（0，2）的距离的最大值，由此能求出|PQ|的最大值及相应的Q点坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵圆C₁：x²+（y-2）²=$\frac{1}{4}$，∴${x}^{2}+{y}^{2}=2y-\frac{15}{4}$，
∴圆C₁的极坐标方程为${ρ}^{2}=2ρsinθ-\frac{15}{4}$．
∵椭圆C₂：x²+4y²=4，
∴椭圆C₂的极坐标方程为ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4．
（Ⅱ）椭圆C₂：x²+4y²=4的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，0≤α＜2π，
设Q（2cosα，sinα），则P到圆心（0，2）的距离：
d=$\sqrt{4co{s}^{2}α+（2-sinα）^{2}}$=$\sqrt{8-3si{n}^{2}α-4sinα}$=$\sqrt{\frac{28}{3}-3（sinα+\frac{2}{3}）^{2}}$≤$\sqrt{\frac{28}{3}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
当且仅当sinα=-$\frac{2}{3}$时，取等号，此时2cosα=$±\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
∴|PQ|的最大值为|PQ|_max=$\frac{2\sqrt{21}}{3}+\frac{1}{2}$，此时Q（$±\frac{2\sqrt{5}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查圆的椭圆的极坐标的求法，考查两点间距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．