Question

18．已知函数$f（x）={log_2}\frac{1-ax}{1+x}$是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-log₂（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由奇函数性质得f（x）+f（-x）=${log}_{2}\frac{1-ax}{1+x}+lo{g}_{2}\frac{1+ax}{1-x}$=0，由此能求出a．
（2）当a=-1时，g（x）=f（x）-log₂（mx）=-log₂（mx）=0，得x=$\frac{1}{m}$，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）-log₂（mx）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{（1+x）•mx}$=0，得不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．

解答 解：（1）∵函数$f（x）={log_2}\frac{1-ax}{1+x}$是奇函数，
∴f（x）+f（-x）=${log}_{2}\frac{1-ax}{1+x}+lo{g}_{2}\frac{1+ax}{1-x}$
=$lo{g}_{2}（\frac{1-ax}{1+x}×\frac{1+ax}{1-x}）$=0，
∴$\frac{1-ax}{1+x}×\frac{1+ax}{1-x}$=1，
∴1-a²x²=1-x²，
解得a=1或a=-1（舍）
故a=1．
（2）不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点，理由如下：
a=1，g（x）=f（x）-log₂（mx）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$-log₂（mx）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{（1+x）•mx}$，
由$lo{g}_{2}\frac{1-x}{（1+x）•mx}$=0，得$\frac{1-x}{（1+x）mx}$=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．
综上，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．

点评 本题考查实数值的求法，考查函数是否有两个零点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意奇函数性质的合理运用．