Question

3．已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．
（l）求动圆的圆心轨迹C的方程
（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，使以PQ为直径的圆过原点？

Answer 1

分析 （1）如图，设M为动圆圆心，根据圆M与直线x=-1相切可得|MF|=|MN|，结合抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，从而解决问题；
（2）对“是否存在性”问题，先假设存在，设直线l的方程为x=k（y-1）（k≠0），与抛物线方程联立结合根的判别式求出k的范围，再利用向量垂直求出k值，看它们之间是否矛盾，没有矛盾就存在，否则不存在．

解答 解：（1）如图．设M为动圆圆心，F（1，0），过点M作直线x=-1的垂线，垂足为N，
由题意知：|MF|=|MN|…（2分）
即动点M到定点F与定直线x=-1的距离相等，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（1，0）为焦点，x=-1为准线，
∴动点R的轨迹方程为y²=4x  …（6分）
（2）由题可设直线l的方程为x=k（y-1）（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}x=k（y-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4ky+4k=0△=16k²-16＞0，k＜-1或k＞1…（8分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=4k
因为以PQ为直径的圆过原点，
则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即$\overrightarrow{OP}=（{x_1}，{y_1}）\overrightarrow{，OQ}=（{x_2}，{y_2}）$，于是x₁x₂+y₁y₂=0  …（10分）
即k²（y₁-1）（y₂-1）+y₁y₂=0，
∴$（{k^2}+1）{y_1}{y_2}-{k^2}（{y_1}+{y_2}）+{k^2}=0$
∴4k（k²+1）-k²4k+k²=0，解得k=-4或k=0（舍去）
又k=-4＜-1，∴直线l存在，其方程为x+4y-4=0…（12分）

点评 本小题主要考查曲线与方程，直线和抛物线等基础知识，以及求解存在性问题的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．