Question

13．在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2． 
（1）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的边角关系可得BC，CD．S_ABCD=$\frac{1}{2}AB•BC+\frac{1}{2}AC•CD$，利用V=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABCD}×PA，即可得出．
（2）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F为PC的中点，可得AF⊥PC．利用线面垂直的判定与性质定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可证明PC⊥平面AEF．

解答 （本题满分12分）
解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2$\sqrt{3}$，AD=4．
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}AB•BC+\frac{1}{2}AC•CD$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}+\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{5}{2}\sqrt{3}$． 
 则V=$\frac{1}{3}×\frac{5}{2}\sqrt{3}×2=\frac{5}{3}\sqrt{3}$．…．（6分）
（2）∵PA=CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，
∴PC⊥平面AEF． …（12分）

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．