Question

1．已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象与直线y=0在原点处相切，函数f（x）有极小值-$\frac{4}{27}$，则a的值为-1．

Answer 1

分析 由题意得，函数f（x）在原点处于x轴相切，即导函数在x=0处等于0，同时可令导函数为0，解得两个极值，其中有一个为-$\frac{4}{27}$

解答 ∵f（x）与直线y=0在原点处相切
f′（x）=3x²+2ax+b
∴$f′（0）=0\\;\\;∴b=0$
∴f（x）=x³+ax²
f′（x）=3x²+2ax
=x（3x+2a）
令f′（x）=0，则x₁=0，${x}_{2}=-\frac{2a}{3}$
∵f（0）=0
$f（-\frac{2a}{3}）=\frac{4}{27}{a}^{3}$
∴$\frac{4}{27}{a}^{3}=-\frac{4}{27}$
∴a³=-1
∴a=-1
故答案为a=-1

点评 本题以函数为载体，考查函数的极值及在某点处的相切．属于基础题．