Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax²+2x．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数求导数，得f'（x）=x²-2ax+2，计算出根的判别式△=4a²-8，然后根据-

2

≤a≤

2

时和a≤-

2

或a≥

2

时两种情况加以讨论，得到导数在各个区间上的正负，即可得到f（x）在各种情况下的单调区间；
（2）由（1）可得当-

2

≤a≤

2

时，显然满足条件f（x）在[1，+∞）上是增函数；当a≤-

2

或a≥

2

时，解不等式a+

a2-2

≤1，可得a≤-

2

．由此即可得到符合题意的实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=

1

3

x³-ax²+2x，
∴f'（x）=x²-2ax+2
①当4a²-8≤0时，即-

2

≤a≤

2

时，f'（x）≥0恒成立，可得f（x）在R上是增函数，
②当a≤-

2

或a≥

2

时，f'（x）=0的根是x₁=a-

a2-2

，x₂=a+

a2-2

，
∵当x＜a-

a2-2

或x＞a+

a2-2

时，f'（x）＞0；当a-

a2-2

＜x＜a+

a2-2

时，f'（x）＜0
∴函数f（x）的增区间是（-∞，a-

a2-2

）和（a+

a2-2

，+∞）；减区间是（a-

a2-2

，a+

a2-2

）；
（2）由（1）可得
①当-

2

≤a≤

2

时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，符合题意；
②当a≤-

2

或a≥

2

时，由f（x）在[1，+∞）上是增函数，可得a+

a2-2

≤1，解之得a≤-

2

．
综上所述，可得实数a的取值范围是（-∞，

2

]．

点评：本题给出三次多项式函数，求函数的单调区间并讨论在区间[1，+∞）上是增函数的问题．着重考查了利用导数研究函数的单调性和含有字母的二次式的讨论等知识，属于中档题．