Question

7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（$\frac{3}{4}$π，0）对称，且在区间[0，π]上是单调函数，则ω=$\frac{2}{3}$，φ=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和对称性进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函数，0≤φ≤π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
则f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=cosωx，
∵f（x）图象关于点M（$\frac{3}{4}$π，0）对称，
∴f（$\frac{3}{4}$π）=cos（$\frac{3}{4}$πω）=0，
即$\frac{3}{4}$πω=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
即ω=$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$k，k∈Z，
∵f（x）在区间[0，π]上是单调函数，
∴$\frac{T}{2}≥π$，即$\frac{π}{ω}≥π$，
∴0＜ω≤1，
即当k=0时，ω=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$，$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的单调性和奇偶性和对称性是解决本题的关键．