Question

12．已知三棱锥O-ABC，点G是△ABC的重心．设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，那么向量$\overrightarrow{OG}$用基底{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}可以表示为$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 画出图形，结合图形，利用向量的加法与减法的几何意义，用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$表示出$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$以及$\overrightarrow{AG}$的值，再求出$\overrightarrow{OG}$．

解答 解：如图所示，
三棱锥O-ABC中，点G是△ABC的重心，
$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$），
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）；
∴$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查了空间向量的加法与减法运算的应用问题，解题时应画出图形，利用图形解答问题，是基础题目．