Question

1．已知点P（1，1）到直线l：y=3x+b（b＞0）的距离为$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．数列{a_n}的首项a₁=1，且点列（a_n，a_n+1）n∈N^*均在直线l上．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意和点到直线的距离公式列出方程，求出b的值；
（Ⅱ）把（a_n，a_n+1）代入直线l的方程得到递推公式，再构造新的等比数列，利用等比数列的通项公式求出a_n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）数列{na_n}的通项公式，再分组求和法、错位相减求和法，等比（等差）数列的前n项和公式求出S_n．

解答 解：（Ⅰ）∵由点P（1，1）到直线l：y=3x+b（b＞0）的距离为$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，
∴$\frac{|3-1+b|}{{\sqrt{{3^2}+{1^2}}}}=\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，解得b=2               （3分）
（Ⅱ）∵点列（a_n，a_n+1）n∈N^*均在直线l上，
∴a_n+1=3a_n+2，即a_n+1+1=3（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2为首项，公比为3的等比数列，
∴${a_n}+1=2•{3^{n-1}}$，即${a_n}=2•{3^{n-1}}-1$（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，数列{na_n}的通项${c_n}=2n•{3^{n-1}}-n$，
设S=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，①
则3S=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，②，
①-②得，-2S=1+3¹+3²+3³+…+3^n-1-n•3ⁿ
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3ⁿ=$-\frac{1}{2}+\frac{1-2n}{2}•{3}^{n}$，
则S=$\frac{1}{4}+\frac{2n-1}{4}•{3}^{n}$，即2S=$\frac{1}{2}+\frac{2n-1}{2}•{3}^{n}$，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2n-1}{2}•{3}^{n}-\frac{n（n+1）}{2}$=${S}_{n}=\frac{2n-1}{2}•{3}^{n}-\frac{{n}^{2}+n-1}{2}$．（14分）

点评 本题考查等比数列的通项公式，等比、等差数列的前n项和公式，裂项相消法求数列的和，以及利用恰当的放缩法证明不等式成立，属于中档题．