Question

10．S_n是数列{a_n}的前n项和，
（1）若a_n+1=a_n+a_n-1（n≥2），且a₇=8，求S₁₀；
（2）a_n=$\frac{1}{3}$（2ⁿ-（-1）ⁿ），b_n=a_na_n+1，b_n-S_n•h＞0对任意正整数n都成立，求h的范围．

Answer 1

分析 （1）把数列的前10项分别表示出来，得出5a₁+8a₂=8，S₁₀=55a₁+88a₂，整体求解即可．
（2）先表示出b_n，S_n，分n为正奇数，正偶数两种情况进行讨论，从b_n-hS_n＞0中分离出参数λ后转化为求数列的最小值即可，借助数列的单调性可求最值

解答 解：（1）a₁，a₂，a₁+a₂，a₁+2a₂，2a₁+3a₂，3a₁+5a₂，5a₁+8a₂，8a₁+13a₂，13a₁+21a₂，21a₁+34a₂，
∵a₇=8，S₁₀=55a₁+88a₂，
∴5a₁+8a₂=8，
即S₁₀=88；
（2）∵a_n=$\frac{1}{3}$（2ⁿ-（-1）ⁿ），b_n=a_na_n+1，
∴b_n=$\frac{1}{9}$[2ⁿ-（-1）ⁿ][2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{3}${（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}
=$\frac{1}{3}×$2ⁿ⁺¹$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{6}$×（-1）ⁿ⁺¹，
①当n为正奇数时，b_n-hS_n=$\frac{1}{9}$[2ⁿ+1][2ⁿ⁺¹-1]-$\frac{1}{3}$h（2ⁿ⁺¹-1）＞0对任意n∈N^*都成立，
因为2ⁿ⁺¹-1＞0，所以$\frac{1}{9}$（2ⁿ+1）$-\frac{h}{3}$＞0，即h$＜\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）对任意正奇数n都成立，
又因为数列{$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）}递增，
所以当n=1时，$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）有最小值1，所以λ＜1；
②当n为正偶数时，b_n-hS_n=$\frac{1}{9}$（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹+1）-$\frac{1}{3}$（2ⁿ⁺¹-2）h＞0，即$\frac{1}{9}$（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹+1）-$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）h＞0对任意n∈N^*都成立，
又因为2ⁿ-1＞0，所以$\frac{1}{9}$（2ⁿ⁺¹+1）$-\frac{2}{3}$h＞0，即h$＜\frac{1}{6}$（2ⁿ⁺¹+1）对任意正偶数n都成立，
又因为数列{$\frac{1}{6}$[2ⁿ⁺¹+1]}递增，
所以当n=2时，$\frac{1}{6}$[2ⁿ⁺¹+1]有最小值$\frac{3}{2}$，所以h$＜\frac{3}{2}$；
综上所述，h的取值范围是（-∞，1）．
故实数h的范围：（-∞，1）．

点评 题考查数列求和、数列与不等式的综合，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，本题运算量较大