Question

20．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）的解析式为$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$
（1）试写出f（x）在R上的函数表达式；
（2）求函数f（x）在R上的值域．

Answer 1

分析 （1）已知当x＞0时的解析式求出x＜0时的解析式，并且函数是R上的奇函数，可得出f（0）=0，从而求出函数在定义域上的解析式；
（2）由于f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，y=1+2^x为单调增函数，故函数f（x）为单调递增函数，再根据x的取值变化，即可求出值域．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$
∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
当x=0时，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0，
综上所述，f（x）在R上的函数表达式f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
（2）由于f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵y=1+2^x为单调增函数，根据复合函数的单调性，
∴函数f（x）为单调递增函数，
当x→-∞时，f（x）→-1，
当x→+∞时，2^x+1→+∞，即$\frac{2}{{2}^{x}+1}$→0，
∴f（x）→1，
∴函数的值域为（-1，1）．

点评 本题考查函数解析式和值域的求法，函数的奇偶性，整体代换的思想，奇函数在x=0处f（0）=0的性质，属于基础题．