Question

5．已知函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程$2{[{f（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）}]^2}$+mcosx+2=0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）有实数解，求实数m的取值．

Answer 1

分析 （1）根据是三角函数的性质求出ω的值，即可求函数f（x）的单调递增区间；
（2）利用参数分离法转化为求三角函数的取值范围即可．

解答 解：（1）由题意得T=π，则$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=1，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
故f（x）的单调增区间是$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]，k∈Z$（4分）；
（2）原方程可化为2cos²x+mcosx+2=0，在$x∈（0，\frac{π}{2}）$有解，
参变分离可得$m=-2（cosx+\frac{1}{cosx}）$，
令cosx=t，t∈（0，1），可得$m=-2（t+\frac{1}{t}）$，
显然当t∈（0，1）时，$t+\frac{1}{t}＞2$，
∴$m=-2（t+\frac{1}{t}）＜-4$，
即m＜-4．

点评 本题主要考查三角函数解析式以及三角函数性质的考查，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．