Question

6．已知向量$\vec a$=（cos（-x+$\frac{π}{3}$），1），$\vec b$=（3，-2），f（x）=$\vec a$•$\vec b$
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若函数f（x）的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$得到函数g（x）的图象，试求函数y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}}$]的值域．

Answer 1

分析 （1）利用数量积化简表达式，通过正弦函数的单调性求解即可．
（2）利用三角函数的平移变换推出函数的解析式，然后求解函数的值域即可．

解答 解：（1）$f（x）=\vec a•\vec b$=$3cos（-x+\frac{π}{3}）-2=3cos（x-\frac{π}{3}）-2$，
令$2kπ≤x-\frac{π}{3}≤π+2kπ，k∈Z$得$2kπ+\frac{π}{3}≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ，k∈Z$
∴函数f（x）的单调减区间为$[2kπ+\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}+2kπ]，k∈Z$．…（6分）
（2）由题意知$g（x）=3cos（2x-\frac{π}{3}）-2$，$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$cos（2x-\frac{π}{3}）∈[{-\frac{1}{3}，1}]$
∴$g（x）=3cos（2x-\frac{π}{3}）-2∈[{-\frac{7}{2}，1}]$，
∴函数y=g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的值域为$[{-\frac{7}{2}，1}]$…（13分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，函数的单调性的应用，向量的数量积的求法，考查计算能力．